Tribonacci sequence の周期性

forum を見ていたら 1, 1, 1 に必ず戻ってくるよみたいな発言がちらほらと見えました。確かに経験的には戻ってくるみたいです。でも理由がわからない。というわけで考えました。

$T = \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&1\end{array}\right)$
とおくと
$T \left(\begin{array}{c}T_{n}\\T_{n+1}\\T_{n+2}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}T_{n+1}\\T_{n+2}\\T_{n+3}\end{array}\right)$
であることは容易にわかる。したがって
$\left(\begin{array}{c}T_{n}\\T_{n+1}\\T_{n+2}\end{array}\right) = T^{n-1} \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$
なので、任意の $m>1$ についてある $r>0$ があって $T^r=I (\mathrm{mod} m)$ がいえればよい。
ところが $\det(T)=1$ なので $T$ は任意の m>1 について mod m で正則である。つまり $T$ は有限群 $\mathit{GL}(3,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ の元だから、そのような $r$ の存在は明らか。