"the following are equivalent" であって "the followings are equivalent" ではないようですが，すぐ忘れるので困っています。the following は単複同形。単複同形。

CodeFest というイベントの一環として開催された MathMania というコンテストに参加しました。195 点満点中 145 点で 6 位になりました。思いの外上位に入れたし，問題を見た瞬間は半分も解けないかなと思っていたのが結局時間内に一応全問正解かそれに近い…

さっき変に手間取ったので書いてみる。a, b が与えられたとき，ax + by = 1 を満たす x, y の組を求める問題。存在しない場合はとりあえず考えない。b = 1 のときは x = 0, y = 1 でよい。a = 1 でも同様。それ以外の場合を考える。a > b と仮定して，a = qb…

位相空間の開核演算子に関するある等式と，L-strength と呼ばれる S4 の定理のお話。どちらも前から知っていたことですが，今日初めてこの二つの間に関係があることに気がつきました。 位相空間で成り立つある等式 適当な位相空間を固定して，F をその閉集合…

あるテキストに「順序集合の圏は regular じゃないよ」と書いてあったので証明してみようと思ったら、証明できなかった代わりに「順序集合の圏が regular である」ことの証明ができました。書いてみます。さてどこが間違ってるでしょう。必要なことは termin…

regular じゃない epimorphism の例は何があるだろうと思って考えて、最初に見つけたやつ。順序集合を圏とみなしたとき、異なる二点の間の射 は epi だけど regular じゃない。これは次のことに注意するとわかる。 順序集合の射は全部 epi 順序集合の coequa…

この間どこにあったか思い出せなかった動画を見つけたので一応。YouTube の TheCatsters というユーザの "Adjunctions from morphisms [1-5]" です。YouTube - Adjunctions from morphisms 1 をもう一度見てみたら面白いことを言ってました。昔これを見たと…

連分数展開についてよく知らなかったのですが、最近気になり始めたので河田敬義『数論―古典数論から類体論へ』の最初のほうを読んで勉強中です。第一部は近代的な代数を使う手法ではなくて、もっと古い時代の話。たぶん必要な知識は漸化式と平面ベクトル高校…

Vietoris functor の射への作用が well-defined である理由が本には一言も書いてなくて、しばらく考えてもわからなくて、おかしいなあと思ってたのですが、closed mapping lemma を使えばすぐできました。しばらく使ってなかったので存在を忘れていました。*…

Handbook of Modal Logic, Volume 3 (Studies in Logic and Practical Reasoning) 読んでたら、古典(様相)論理の代数と空間の双対性の話がきれいにまとまってて目から鱗が落ちたというか、初めて眼鏡をかけたときのように視界がくっきりした気がしたので*1忘…

ultraproduct がいつまで経っても理解できた気にならないのですが、どうもその原因はよく見かける定義が無駄に具体的であるせいではないかと思い、抽象的な特徴づけを考えました。結果自体はたぶん既知でしょう。*1F を集合 I 上の ultrafilter とし、 を集…

標記のタイトルの論文を読んだので、内容まとめ。この論文は、順序集合にまつわる諸々の概念の圏論的定式化を与えています。また、MacNeille completion の抽象的な定義と、その一意性の証明を与えており、この部分を理解することが今回の目標でした。 Secti…

Canonical extensions and relational completeness of some substructural logics という論文を読もうとしましたが、序盤からよくわからないので調べたり計算したりしていました。どうやら Dedekind-MacNeille completion のことがよくわかっていない様子。…

昔から functor category の冪はなぜ pointwise じゃなくて複雑な形をしているのだろうかと不思議だったのですが、なんとなく答えが見えたような気がするので記念にまとめ。 pointwise だとダメな理由 pointwise に冪をとると何が困るかというと、対象をそう…

Problem 101 見てたらあなごるの Polynomial Sequences 思い出して、人の解答読んだらこんな等式が成り立つことを知りました。ただし f の次数は n 未満。Lagrange interpolation とかいうものがあるらしいですが、それの別表現……なのかな？面白いと思ったの…

どう書く？org の ナイトの動き方 について。これって、盤面が十分に大きければ全部埋め尽くせるような気がしてるんですが、なんかスマートな証明ありませんかね。そのうち暇があったら考えてみようとは思っていますが。

たぶん完結編。というかただのまとめ。 問題 これが解きたい。 n, d, i は自然数で とする。集合 の元の個数を求めよ。 解答 n が素数なら n が square-free なら、その素因数を一つとって p として n が素数 p の平方 p^2 で割り切れるなら

さてずいぶんだらだらと続けているシリーズですが、もうすぐ終わります。たぶん。実は始めた当初は、前回までの内容しかできていませんでしたが、どうやらそれなりに形になりそうな気がしてきました。 問題設定 前回のエントリを書いた後、少し面倒なことを…

今回は、n が平方因子を含む場合を含まない場合に帰着できることを示します。前回 http://d.hatena.ne.jp/lkozima/20090128/1233155371 の簡単な一般化です。前回の最後にに言及しましたが、これは ならばもっと一般化できてが成り立ちます。右辺は disjoint…

間が空いてしまいました。こういうその場の思いつきでやってみただけの話は一気に書かないと、だんだんやる気が薄れてきますね。 復習 こんな記号を定義したのでした。U は Unit の頭文字をとってます。 で をどうやったら求められますか、という問題でした…

http://d.hatena.ne.jp/lkozima/20090120/1232463881 の続き。また簡単な場合だけ。 d = 3 かつ n が素数の場合 d = 3 の場合で一番簡単なのが n が3 でない素数の場合です。これをまずやってみます。まず最初に次のことに注意します。 n が素数のとき、0 単…

Euler 絡みで出てきた問題で遊んでみた話。 を満たす がいくつあるか、という問題はよく知られていて、初等整数論をやればこの話が必ず出てくるでしょう。この数は と表され、 はオイラー関数とか totient function などと呼ばれます。では、区間 を 等分し…

Problem 225 - Project Euler の話。半分ネタバレ。

まだときどき考えてます。回転、反転、行の入れ替え、数の置換だけで一つの解から他のすべての解が作れるようです。それはわかったのだけど、それらが生成する群の、解集合への作用がよくわからない。

4x4 数独の盤面の validity を保つ置換のなす群のことを考えていたら、群の半直積のことを思い出しました。昔群論をやったときには半直積を結局よく理解しないままになっていたように記憶しています。せっかくの機会なので適当な教科書を見て復習を。 が分裂…

http://d.hatena.ne.jp/lkozima/20081213/1229179208 の続き。転置って反転と回転で書けるじゃん、ということに後で気がつきました。 左右反転: 左回転: 転置: 書いてから気付きましたが、ただの二面体群 ですね。

エロと風俗情報満載 どう抜く？ って、群論とか使ってある程度絞れないかな、とか考えたりしています。盤面の置換で valid な配置を valid な配置に写すもの全体が の部分群をなすはずですが、とりあえずこれの構造はどうなってるかな、などということを考え…