重箱の隅に残ったごはんつぶ、二粒目。昨日の話と同じ設定で、次は同値。 で が valid 証明は、地道にやればできると思いますよ。valid なら条件を満たすほうは とか とかして背理法を使うといいと思いますよ。

いつもの数分の一の時間で書けた気がする。驚きの早さ。

Scala をちょっと勉強中。こんなのが書けるそうです。 scala> val primes = List(2, 3, 5, 7) primes: List[Int] = List(2, 3, 5, 7) scala> primes(2) res2: Int = 5 scala> primes(3) res3: Int = 7 リストや配列へのアクセスが関数適用みたいな形で書ける…

やったからといって特に何があるわけでもないけど、気になるので重箱の隅に残ったごはん粒をつつくお仕事。 問題 直観主義様相論理の Kripke semantics では、定式化によっては次の公理が必ずしも真になりません。 で、この二つの公理のうち一方だけが真にな…

正解者がかなり少ない問題でしたが、何とか解けました。土曜日から今日の夕方まで起きてる時間の半分はこれに費やしたような気がします。方針が立ってからそれを実現するまでがわりと大変で、おそらくこの方程式を解けばできるだろうと予想はついていても、…

後でやろうと思っていた hyperdoctrinal model による Kripke model の再構成をやってみました。少しは理解が進んだと思いたい。 元になる意味論 constant domain model が与えられたとき、 が定義される。ここで W は集合、R はその上の関係 D は集合 I は…

このあたりから数学的にハードに感じるようになってきました。基礎体力が足りませんね。しかしここで頑張らなければいつまで経っても成長しないことがこれまでの幾多の経験から実証されているので頑張る。 10.1 Geometric morphisms and modal logic とりあ…

少し時間ができたので "Handbook of Modal Logic" 再開。9.1 は言葉の準備。なんか de Bruijn level っぽい表記を導入している様子。で自由変数が高々 n 個の term/formula を n-term/n-formula と呼ぶ、と。簡単に言ってしまうとそれだけのことのような。 9…

一応正解は出しましたが、わりと brute-force なので改善したいところ。いくつか枝刈りできると思ったところがあるのに、実際に刈ってみると答えが変わります。もう一度落ち着いて、一から紙に書いて考えないとだめか。

興味のある人は滅多にいないでしょうが、真面目に調べたので自分用にメモ。直観主義様相論理の birelational Kripke semantics では ◇ の解釈のしかたに何通りかのバリエーションがあります。これまでに見たことがあってすぐに思い出せるのは の三つ。下の二…

間がちょっと飛んで part 2 の途中、Section 8 から。Section 5 は参考文献リストがメインだし 6 は Part 2 への導入なので飛ばしたのは 7 だけですが。この節は first-order modal logic の Kripke-completeness について……なのですが、どうやら constant d…

連分数展開についてよく知らなかったのですが、最近気になり始めたので河田敬義『数論―古典数論から類体論へ』の最初のほうを読んで勉強中です。第一部は近代的な代数を使う手法ではなくて、もっと古い時代の話。たぶん必要な知識は漸化式と平面ベクトル高校…

ちょっと前に読んだ論文で、様相論理 E から K への変換の話。E は congruenceを満たす最小の様相論理。K は normalityを満たす最小の様相論理。で E から bimodal K (K2) への埋め込みは存在が知られていた。また K2 から monomodal K への埋め込みも知られ…

この節は hybrid logic を first-order にする話。特別興味があるわけではなかったので軽く流し読みして済ませてしまいました。hybrid logic というのは様相論理に特定の世界でだけ真になる命題変数を付け加えた論理です。この命題変数を nominal と呼びます…

個体の解釈が可能世界ごとに違う意味論。単に object の解釈を世界に依存するように変えるだけかと思ったら、そうではなくて object と intention の二種類の sort を用意してます。 syntax intention variable (i, j, ...) が新たに term として加わります…

論理の意味論を二値で与えると modularity *1があることが多い(らしい)が、一方で analycity *2は失われる。逆に multi-valued matrix を使うと analycity が保障しやすい。この論文は multi-valued non-deterministic matrix が modularity と analycity の…

なんか Section 15 を読んでみたときのまとめが下書きに残っていたので公開しときましょう。余代数は代数の双対なのだけど、単純に双対をとるだけで対応するわけではない。実際これまでに扱ったような話では、必ずしもすべてが双対で対応付けられているわけ…

"Handbook of Modal Logic" の Chapter 9, First-order Modal Logic 読んでみようかなと思いました。Section 2 からが技術的な話。 意味論の定義 この節では、簡単な axiomatization をもつ三種類の意味論を与えています。 constant domain semantics: indiv…