First-order Modal Logic, Section 10. Mathematical models for modalities 続き

この間読んでよくわからなかったところを再読。

10.2 The need for the continuity axiom

geometric morphism が適当な条件を満たすと epi-mono factorization を使って past modality も定義できる。

そのように定義された様相 は (continuity) は満たすが、その逆 を満たさない。

これは、任意に fix した位相空間の上の bundle の圏を考えると反例があることがわかる。この圏では引き戻しは集合としての inverse image であり、可能様相は位相の閉包演算子である。したがって continuity は f の連続性に対応し、これは常に成立する。しかしその逆は f が開写像であることに対応するので必ずしも成立しない。*1

これは代入と様相が可換でないということを意味しており、これまでに考えた構文ではとらえきれない挙動であるということになる。次の章では構文を少し改変して explicit substitution 的なものを入れることで、このようなモデルの挙動を axiomatize できることを示すらしい。

という内容だと思ったんですけど、節のタイトルがなぜ "the need for" なのかがいまいちよくわからず。まだ読めてないのか。

*1:と書いてあるけどチェックしてないところもある