ultraproduct as a colimit - kozima の雑記

ultraproduct がいつまで経っても理解できた気にならないのですが、どうもその原因はよく見かける定義が無駄に具体的であるせいではないかと思い、抽象的な特徴づけを考えました。結果自体はたぶん既知でしょう。*1

F を集合 I 上の ultrafilter とし、 $\{A_i\}_{i \in I}$ を集合族とする。各 $J \subset I$ について $A^J$ を $A^J := \prod_{i \in J} A_i$ で定義する。

このとき $A^{(\cdot)} : F^{\mathit{op}} \ni J \mapsto A^J \in \mathbf{Set}$ は F から集合の圏への反変関手になる。実際、inclusion $J \subset J'$ を自然な射影 $A^{J'} \rightarrow A^J$ へ写せば関手の条件を満たす。

この関手の colimit が $A_i$ の ultraproduct over F である。

ということで、ultraproduct は filtered colimit の特別な場合らしいです。あと上の議論で F が ultra であることは使ってません。

*1:それでも自分で予想して証明することに意義があるのです