kozima の雑記

Section 7 Case study: canonical equations 続き

論理勉強メモ

7.4 Composite maps

今度は関数合成と canonical extension が可換になるかどうかという話。位相的な特徴づけをします。

まず使う位相の定義。ブール代数の canonical extension の上で次の位相を考える。

: up-directed joins で閉じた down-set が閉集合 (Scott topology)
- ちなみによく知られているであろう事実として、写像が Scott topology で連続であることは directed joins を保つことと同値であるという remark がされている
$\gamma^\downarrow$ : 双対順序から決まる Scott topology
: とを含む最弱の位相
- 具体的には $\{U \cap V | U \in \gamma^\uparrow, V \in \gamma^\downarrow\}$ を開集合族とする位相 *1
$\sigma^\uparrow$ : closed element の上界を開集合とする位相 *2
$\sigma^\downarrow$ : $\sigma^\uparrow$ の双対 (closed element の下界が開集合)
$\sigma$ : $\sigma^\uparrow$ と $\sigma^\downarrow$ を含む最弱の位相。具体的な構成は $\gamma$ と同様
ρ,ρ' を A, B の上の位相とするとき、関数 f: A -> B は (A, ρ) から (B, ρ') への写像として連続であるとき (ρ, ρ')-continuous であるということにする

あとは事実の羅列になるが $f : A \rightarrow B$ が monotone であるとき

$f^\sigma$ is the largest monotone $(\sigma, \gamma^\uparrow)$ -continuous extension of f
f is smooth iff $f^\sigma$ is $(\sigma, \gamma)$ -continuous
if f is an operator, then $f^\sigma$ is $(\gamma^\uparrow, \gamma^\uparrow)$ -continuous
if f is additive, then $f^\sigma$ is $(\sigma^\downarrow, \sigma^\downarrow)$ -continuous
if f is multiplicative, then $f^\sigma$ is $(\sigma^\uparrow, \sigma^\uparrow)$ -continuous

が成り立つ。最後のは最後から二番目のやつの双対。

さらに写像の合成に関して、 $f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C$ のとき

$(g \circ f)^\sigma \leq g^\sigma \circ f^\sigma$
if $g^\sigma \circ f^\sigma$ is $(\sigma, \gamma^\uparrow)$ -continuous, then $(g \circ f)^\sigma \geq g^\sigma \circ f^\sigma$

の二つが成り立つ。

どれも compactness と density を使って地道にやればできるようです。

*1:と本文には書いてありますが、これは一般に位相になっているのでしょうか？開基にはなりますが。

*2:と書いてありますが、位相にはならないような気がします。開基の間違いでしょうか。