こんな問題見かけました。 2≦m≦n なる自然数(m,n)に対し，Aはm*nの値のみを知っている，Bはm+nの値のみを知っている．A「m+nの値は分からない」B「君がそう言うことは分かっていた」A「まだm+nの値は分からない」B「m+nは14未満だ」A「mとnが分かった」B「私…

なんかこんなやつ。どうもこいつにはいろんな名前があるみたいで。思い出そうとしてパッと出てくるのは ex falso quodlibet ぐらいなんですけど，他にも ex contradictione quodlibet とか reductio ad absurdum とかいろいろな名前があるみたいです。で，最…

興味のある人は滅多にいないでしょうが、真面目に調べたので自分用にメモ。直観主義様相論理の birelational Kripke semantics では ◇ の解釈のしかたに何通りかのバリエーションがあります。これまでに見たことがあってすぐに思い出せるのは の三つ。下の二…

ちょっと前に読んだ論文で、様相論理 E から K への変換の話。E は congruenceを満たす最小の様相論理。K は normalityを満たす最小の様相論理。で E から bimodal K (K2) への埋め込みは存在が知られていた。また K2 から monomodal K への埋め込みも知られ…

論理の意味論を二値で与えると modularity *1があることが多い(らしい)が、一方で analycity *2は失われる。逆に multi-valued matrix を使うと analycity が保障しやすい。この論文は multi-valued non-deterministic matrix が modularity と analycity の…

"Handbook of Modal Logic" の Chapter 9, First-order Modal Logic 読んでみようかなと思いました。Section 2 からが技術的な話。 意味論の定義 この節では、簡単な axiomatization をもつ三種類の意味論を与えています。 constant domain semantics: indiv…

8.1 が tense logic で 8.2 が global modality & discriminator varieties というタイトル。詳細はフォローしないで軽く目を通しただけです。8.1 では、tense logic の future modality と past modality から adjoint が作れて、その結果これらの様相は必…

7.5 Canonical equations "Time to harvest."ようやく目的であった canonical equation の話になりました。でも細かいところはフォローしていない。等式を考えるので term が出てきます。代数を与えるときには term に現れる関数記号と代数の演算は一対一に…

7.4 Composite maps 今度は関数合成と canonical extension が可換になるかどうかという話。位相的な特徴づけをします。まず使う位相の定義。ブール代数の canonical extension の上で次の位相を考える。 : up-directed joins で閉じた down-set が閉集合 (S…

7.1 Introduction Section 7 は canonical equation の話。等式が canonical であるというのは、それがある BAO で成立するとき、その embedding algebra でも成立すること。論理の方では Kripke completeness に関係する。 7.2 Canonical extensions of Boo…

Section 6 Logics and varieties の続き。 6.3 Interpolation 基礎論サマースクールで聞いたような話。Craig interpolation proporty と superamalgamation property が対応する。superamalgamation から interpolation は Lindenbaum-Tarski algebra を考え…

Section 5 Frames and algebras の続きと Section 6 Logics and varieties の一部。 5.6 Class operations complex algebra をとる関手 と ultrafilter frame をとる関手 の関係について最初に触れられている。 これらの関手はいずれも全射を単射へ、単射を…

Section 5, Frames and Algebras. 途中 5.5 まで。 5.1 Introduction 有限な BAO に対し atom の集合の上にで関係を定義して frame を作ることができる。また、有限な frame が与えられたとき、その冪集合上に BAO の構造が自然に入る (complex algebra)。こ…

Handbook of modal logic の中にある "Algebra and Coalgebra" という章を読んでます。http://staff.science.uva.nl/~yde/papers/ac.pdf に、だいたい同じ内容のものが置いてあります。Section 4 は "Varieties of Expanded Boolean Algebras" というタイト…

□, ◇ の単調性 if p → q then □p → □q if p → q then ◇p → ◇q と、axiom B に相当する公理の組*1 p → ◇□p ◇□p → p から intuitionistic reasoning で distributivity law ◇(p∨q) → ◇p∨◇q が導けることに気がついたので証明をメモ。 p → □◇p from the axiom □…

今度は A. Palmigiano の論文。概要だけ見てみたのでメモ。昨日の Hilken の論文と同じで直観主義様相論理の duality の話。ただし、こちらの論理は Hilken の考えたものよりも強くて、様相を intuitionistic first-order logic での quantifier とみなすこ…

B. P. Hilken の論文。見た*1のでメモ。 概要 二項関係の入った位相空間 (relational spaces) と、様相演算子 □, ◇ の入った frame (modal frame) *2 の間の双対性についての論文。要するに Stone duality の直観主義様相論理版を考えましょうということ。直…

distributivity のない可能様相をもつ直観主義様相論理の完全性はどうやって証明するものだったかなと思って "Categorical and Kripke semantics for constructive S4 modal logic" (Alechina et al. '01) を読み返しました。 気づいたこと: completeness fo…

って[tex: *1]の特別な場合じゃん、ということに気がついた。あたりまえ。 *1:A \vee B) \rightarrow C) \leftrightarrow ((A \rightarrow C) \wedge (B \rightarrow C

Handbook of Modal Logic, Volume 3 (Studies in Logic and Practical Reasoning) 読んでたら、古典(様相)論理の代数と空間の双対性の話がきれいにまとまってて目から鱗が落ちたというか、初めて眼鏡をかけたときのように視界がくっきりした気がしたので*1忘…

PPL で話題に上った classical S4 の ◇ と strong monad について、今更ながらふと思い出したので書いてみます。 疑問 確か、S4 の ◇ を「ある時刻に計算可能」と解釈すると Haskell の monad みたいに見えるけど strong monad ではないのでなんか違う、じゃ…

Topological Duality for Modal Logic というタイトルのスライドを読んでみました。様相論理の Stone duality についてあまり本気で考えたことはありませんでしたが、これを見る限り素直にやればできてそうに思えます。要するに classical Stone duality に…

昔から functor category の冪はなぜ pointwise じゃなくて複雑な形をしているのだろうかと不思議だったのですが、なんとなく答えが見えたような気がするので記念にまとめ。 pointwise だとダメな理由 pointwise に冪をとると何が困るかというと、対象をそう…