Algebras and coalgebras, Section 9 (Coalgebras: an introduction)

余代数の入門。基本的な定義と例だけです。

代数が演算子を計算することで構造を簡単にする仕組みを持っている (e.g. 1+2+3 -> 6)のに対して、余代数は単純なものを分解して構造を作り出す仕組みを持つ対象である、というようなことが書かれています。

こんな感じの対応関係。

代数: fold, equational logic
余代数: unfold/observe, modal logic

basic definitions and examples

余代数の定義は普通に。関手 F に対して FC> を F-coalgebra という。

例。

"coloring" C> is a coalgebra over a constant functor
automata
Kripke frames
neighborhood frames
- $\breve{P}^2$ -coalgebra ( $\breve{P}$ = the contravariant powerset functor)
topological spaces
- coalgebra over the filter functor $F_{\breve{P}}$
- action on objects: a set X -> the set of filters over P(X)
- action on morphisms: restriction of $\breve{P}^2$

functor のクラスが定義されている。定義だけで具体的な性質は何も触れられていないが、これらのクラスは well-behaved であるらしい。

polynomial functor:
$K ::= I | C | K_0 + K_1 | K_0 \times K_1 | K^D$
Kripke polynomial functor:
$K ::= I | C | K_0 + K_1 | K_0 \times K_1 | K^D | P(K)$
finitary Kripke polynomial functor:
$K ::= I | C | K_0 + K_1 | K_0 \times K_1 | K^D | P_\omega(K)$ (D: finite)

Stone spaces and Vietoris functor

descriptive general frame が余代数だと見なせますよ、という例。

$(S, \sigma)$ を位相空間とし、その閉集合全体を K(S) で表す。いま "converse membership relation" $\ni \subset K(S) \times S$ から $\langle \ni \rangle, [\ni] : P(S) \rightarrow P(S)$ を

$\langle \ni \rangle (U) = \{ F \in K(S) | F \cap U \neq \emptyset\}$
$[ \ni ] (U) = \{ F \in K(S) | F \subset U\}$

で定義する。 $\langle \ni \rangle (U), [ \ni ] (U)$ の形の集合で生成される K(S) 上の位相を Vietoris topology という。また K(S) にこの位相を入れた位相空間を Vietoris spaces といい $\mathcal{V}(S)$ で表す。

S が Stone space のとき $\mathcal V (S)$ は Stone space なので、 $\mathcal V$ は Stone spaces の圏の endofunctor である。この関手を Vietoris functor と呼ぶ。

descriptive general frame において accessibility relation は各点を閉集合へ写し、これは Vietoris topology で連続*1なので $\mathcal V$ -coalgebra とみなすことができる。

coalgebra homomorphisms

余代数の準同型の定義は図式の可換性で自然に定義。この定義は普通の定義と一致する。例えば frame の余代数としての準同型は bounded morphism だし、位相空間の準同型は連続写像になる。これは逆に bounded morphism という概念が自然なものであることも示唆している。

余代数と準同型は明らかに圏をなす。上の例でみた対応から、 frame の圏が P-coalgebra の圏と同値であることや descriptive general frame の圏が coalgebras for Vietoris functor (on Stone spaces) の圏と同型であることがわかる。

*1:domain の位相は associated Stone space の位相