closed mapping lemma

Vietoris functor の射への作用が well-defined である理由が本には一言も書いてなくて、しばらく考えてもわからなくて、おかしいなあと思ってたのですが、closed mapping lemma を使えばすぐできました。しばらく使ってなかったので存在を忘れていました。*1

わからなかったのは、Stone spaces の間に連続写像 f : S -> S' があったときに Vf = f[-] : P(S) -> P(S') を closed set 全体 K(S) に制限すると像が K(S') に入ることの証明。しかし closed mapping lemma によればコンパクト空間からハウスドルフ空間への連続写像は閉写像なので、これは明らかでした。

*1:実は思い出したというより、再発明した後で見覚えがあると思って調べた