Algebras and Coalgebras, Section 15. Duality of algebra and coalgebra

なんか Section 15 を読んでみたときのまとめが下書きに残っていたので公開しときましょう。

余代数は代数の双対なのだけど、単純に双対をとるだけで対応するわけではない。実際これまでに扱ったような話では、必ずしもすべてが双対で対応付けられているわけではなかった。

universal algebra は普通、集合と写像の圏 (Set) の polynomial functor 上の代数を考える。そしてこの本で扱われていた coalgebra は、集合と写像の圏の中で考えていた。つまり圏が同じなので単純に双対で対応するわけがない、と。

ちなみに Set の双対は complete atomic Boolean algebra と complete homomorphism の圏 (CABA) に同値なので、一方を Set で考えて他方を CABA で考えると対応が付いたりもする。

同様に Stone と BA でも対応がつくわけで、そうすると Vietoris functor の対応物を BA で考えることができる。実はこれが "first connection between modal logic and coalgebra" だったという。