Dedekind-MacNeille completion

数学 メモ

Canonical extensions and relational completeness of some substructural logics という論文を読もうとしましたが、序盤からよくわからないので調べたり計算したりしていました。どうやら Dedekind-MacNeille completion のことがよくわかっていない様子。定義は知ってますが性質がよくわからない。

Complete lattice (wikipedia) にある記述と計算してみた結果とを合わせると、complete join-semilattice の圏から順序集合の圏への忘却関手の左随伴が Dedekind-MacNeille completion ということになりそうですが。

ところで今見つけたんですが Dedekind cut の項目に Dedekind-MacNeille completion (of S) について "It it the smallest lattice with S embedded in it." の "smallest" はどう理解したらいいのでしょう。束の圏では忘却関手の左随伴にはならないような気がしたのですが。

あと、これとは関係ありませんが、三つの不定元から生成される完備束は存在しないそうです。聞いたことがあるようなないような。分配束だったら有限になるというのは束論の本で読んだ気がするので、そっちかもしれません。