Algebra and Coalgebra, section 4

Handbook of modal logic の中にある "Algebra and Coalgebra" という章を読んでます。http://staff.science.uva.nl/~yde/papers/ac.pdf に、だいたい同じ内容のものが置いてあります。

Section 4 は "Varieties of Expanded Boolean Algebras" というタイトルで、主に expanded Boolean algebra (BAE) の congruence lattice の話。

Def. an algebra A is arithmetical iff its congruence lattice Cg(A) is distributive and composition on Cg(A) is commutative

Cg(A) が arithmetical であるという条件は一般の代数においてはかなり強いものらしいけど、BAE に対してはそれが成り立つ。

証明は Mal'cev term と 2/3 majority term というものを使う。一般にそれらが存在する代数では congruence lattice は arithmetical になる。

群においては正規部分群、可換環においてはイデアルが congruence と一対一に対応する。BAE でこれに相当するのが modal filter という概念。

一般に代数の variety は subdirectly irreducible members で生成されるので、subdirect irreducibility は重要な役割を果たす。そして subdirect decomposition と congruence の間には強い結びつきがある。

A is simple iff Cg(A) = 2
A is directly indecomposable iff Cg(A) has two elements whose meet is Δ and join is Υ
A is subdirectly irreducible iff Cg(A)-{Δ} has the least element

これは一般の代数について成立するが、特に BAO については次のような特徴づけが可能。

Def. e < 1 is essential iff for any b < 1 there exists a derived box ■ such that ■b <= e
A is simple iff any a < 1 is essential
A is subdirectly irreducible iff it has an essential element

この定理の背景にある重要な observation (だと思う) が以下。