Algebra and Coalgebra, section 5

Section 5, Frames and Algebras. 途中 5.5 まで。

5.1 Introduction

有限な BAO に対し atom の集合の上に

$R_\Diamond u v \Longleftrightarrow \forall a \in v, \Diamond a \in u$

で関係を定義して frame を作ることができる。また、有限な frame が与えられたとき、その冪集合上に BAO の構造が自然に入る (complex algebra)。これらの操作は up to iso. で互いに逆になっていることが示せる。

しかし、無限のときはそうとは限らない (代数の方が「多い」) のだが、有限の場合の対応を拡張する方法として次の二つのやり方がある。

代数を減らす。特別な条件を満たす代数だけを考えて frame との対応をとる
frame を増やす。frame に構造を加えてすべての代数と対応がつくようにする

5.2 Complex duality

まず一つ目の、代数のほうを制限して frame に対応させる話。

a BAO is perfect iff it is complete, atomic, and all (diamond) operators are complete (i.e. preserve arbitrary join)

このように定義すると次のことが成り立つ。つまり perfect BAO と frame の間には対応関係がある。

for a frame S, its double dual is isomorphic to S
for a BAO A, its double dual is isomorphic to A iff A is perfect
the category of perfect BAO and complete hom.'s are dually equivalent to the category of frame and p-morphisms

5.3 Ultrafilter frames

perfect とは限らない BAO については atom が十分たくさんあるとは限らないので、atom 相当のものを一般の BAO でから取り出して frame を作る話。BAO の ultrafilter を考える。

$f : B^n \rightarrow B$ が operator のとき、B の ultrafilter の集合 Uf(B) 上の n+1 項関係 $R_f$ を

$R_f u u_1 \dots u_n \Longleftrightarrow f(u_1, \dots, u_n) \subseteq u$

で定義する。これで BAO から frame $B_\bullet$ が作られる (ultrafilter frame)。

B から $B_\bullet$ の complex algebra への埋め込みが存在する。(Jónsson-Tarski representation theorem)

5.4 Topological duality

ここから frame に構造を足す話。

まずは普通のブール代数の場合を考えてみる。

a field of sets is a pair (S, A) where A is a subalgebra of P(S)

任意のブール代数 A は P(Uf(A)) へ埋め込めるので、すべてのブール代数はある field of sets と同型である。

field of sets は A を clopen base だと思って位相を入れれば zero-dimensional space を考えるのと同じこと。この位相が compact Hausdorff (descriptive) であることと A から P(Uf(A)) への埋め込みが同型であることが同値。これをさらに拡張すると field of sets と連続写像の圏と、BA と準同型の圏は dually equivalent であるという Stone duality の主張が出てくる。

これを Kripke frame の場合に適用しようとすると、descriptiveness の条件に「各点の accessibility relation による像が closed」という条件がつく (point-closed, tight ともいう)。

descriptive general frame と continuous p-morphism の圏と、BAO と準同型の圏は dually equivalent (Goldblatt) である。

5.5 simplicity and subdirect irreducibility

与えられた frame の complex algebra の simplicity, subdirect irreducibility については次の結果が知られている。

If every point of S is a root, then the complex algebra of S is simple.
The complex algebra of S is subdirectly irreducible iff S is rooted.

これらは complex algebra に関する結果なので、任意に代数が与えられたときには使えるとは限らない。実際、subdirectly irreducible BAO で ultrafilter frame が rooted でないものが存在するし、逆に ultrafilter frame が rooted であるが subdirecly irreducible でない BAO も存在する。

ということで rootedness による特徴づけはできないのだが、類似の概念である topo-reachability を導入すると一般の代数について似たような結果が得られる。

(Def) u∈Uf(A) is a topo-root iff ∀v∈Uf(A) ∀a∈v ∃◆, ◆a∈u

位相の言葉を使うと次のように言い換えられる (らしい)。

u is a topo-root of A iff the set of reachable points from u is dense

topo-root の概念を使うと次のような特徴づけが可能。

A is simple iff every point of Uf(A) is a topo-root
A is subdirectly irreducible iff the set of topo-roots of Uf(A) is non-empty and open
if A is omega-transitive (∃◇∀◆∀a. ◆a≦◇a, where ◇ and ◆ range over derived modalities; ◇ is called a master modality), then A is subdirectly irreducible iff the set of roots of Uf(A) is non-empty and open

この部分は背景にあると思われるカンがつかめず。