Algebras and Coalgebras 5.5--6.2

Section 5 Frames and algebras の続きと Section 6 Logics and varieties の一部。

5.6 Class operations

complex algebra をとる関手 $(\cdot)^+$ と ultrafilter frame をとる関手 $(\cdot)_\bullet$ の関係について最初に触れられている。

これらの関手はいずれも全射を単射へ、単射を全射へ写す
disjoint union の compelx algebra は complex algebras の product
finite product の ultrafilter frame は ultrafilter frames の direct sum

最後のは有限でないと成り立たない。無限の場合への拡張としては次の同型が知られている。

$(\prod_{i \in I} A_i)_\bullet \simeq \sum_{D \in Uf(I)} (\prod_D A_i)_\bullet$

最後に Goldblatt-Thomason の定理。frame のクラス C は modally definable であれば

reflects ultrafilter extension
closed under bounded-morphic images, generated subframes anddisjoint unions

である。また C が ultrapower で閉じていれば逆も成立する。

後半の細かいところはモデル理論をまともに勉強してないせいか雰囲気があまり掴めない。

introduction of 6

ちょっとした定義と簡単な定理が述べられている。

NExt(L) := the lattice of normal etensions of L
the lattice of subvarieties of BAO is dually isomorphic to NExt(K)
- V -> Log(V) := the set of formulas satisfied in V
- L -> BAO(L) := the class of BAOs satisfying L
- Log and BAO gives the dual isomorphism

6.1 Completeness

Kripke completeness の話。

L が normal のとき、L が Kripke complete であることと BAO(L) が perfect members から生成されることが同値。これは perfect BAO と Kripke frame の対応から出てくる。

perfect よりも弱い条件にするとどうかというと、Buszkowski による以下の結果が知られている。

BAE の variety が modally guarded equations で定義されるなら、それは atomic members から生成される
- 等式が modally guarded とは、変数がすべて様相の scope の中にあること

証明のスケッチ。まず BAE A をとり、これを適当な X をとって P(X) に埋め込む。このとき A の 0 でない要素はすべて無限集合に写るようにできる。次に B を、埋め込みの像と有限個しか違わないもの全体とすると、これは atomic Boolean algebra である。さらに b∈B について、それと有限個しか違わない b'∈A が一意的に存在する。これを使って A 上の様相を b -> b' -> ◇b' というように B へ拡張できる。

雰囲気としては、BAE A があったら、その各要素の近傍に無限小みたいなのを足して atomic BA B にする。このとき異なる点の近傍が混ざらないことに注意。したがって B の点は A の要素で近似できる (standard part みたいなの) ので、この近似を使って様相を B の上へ拡張する。

ちなみに、この結果が一般の variety では成り立たないことを示す例として atomless BAO しかもたない variety や incomplete BAO しか持たない variety の存在が知られている。

6.2 Canonicity

Kripke completeness とも関係する canonicity について。

C ⊂ BAO is canonical iff it is closed under taking canonical embedding algebras
an equation η is canonical iff BAO(η) is canonical
a logic L is canonical iff its canonical frames satisfy L

と定義すると L が canonical であることと BAO(L) が canonical であることは同値になる。証明は難しくない。

技術的な注意。canonical frame は厳密には命題変数の集合の濃度に依存する。L が canonical であるとは、命題変数の集合をどのようにとっても条件が成り立つということ。上の定義で "canonical frames" と複数形にしたのはそういう意味。

BAO の variety V が canonical であれば、すべての A∈V は V の perfect member の subalgebra となる ( $A \rightarrow A^\sigma \in V$ ; Jónsson-Tarski の定理) ので、V は Kripke complete である。

この後は、Sahlqvist's theorem に触れてからいくつかの定理。

if K is an elementary class of frames, then Log(K) is canonical
there exists a canonical variety that is not generated by elementary class
if K is closed undur ultraproduct and ultrafilter extension, then Var(K) is canonical